Rappel du premier message :
A cause de la rapidité de certains d'entre vous, je pose cette semaine plusieurs problèmes.
Problème 1
Un nombre bègue est un nombre (ne commençant pas par 0) qui, en numération décimale, est formé des mêmes chiffres se répétant deux fois.
Ainsi, 45 284 528 est un nombre bègue mais pas 452 804 528.
Mais le comble est obtenu quand on cumule ce bégaiement décimal avec un bégaiement multiplicatif et un bégaiement additif, c'est-à-dire quand le nombre bègue est également un carré parfait et un nombre pair.
Comment construire une suite infinie de nombres souffrants de ce cumul de bégaiements?
Quel est le plus petit d'entre eux?
Problème 2
(FFJM,2010)
Matt Usalem est un grand-père de plus de 80 ans (mais de moins de
150 ans). Aujourd'hui, il peut dire à ses deux petits enfants, qui ont
des âges différents :
« Le produit de nos trois âges est égal à la somme des carrés de nos
âges ».
Quel est l'âge de Matt Usalem ?
Problème 3
Soit P(x) admettant & pour racine. Démontrer qu'il existe Q(x), tel que P(x)= (x-&) Q(x)
Problème 4
Bob veut obtenir exactement la moyenne à tous ses 18 exams.Quand il reçoit ses notes (des entiers naturels compris entre 0 et 20), il s'aperçoit qu'il lui manque un seul point au total et qu'il devra passer un oral de rattrapage. Pour se consoler, il cherche à regrouper une partie de ses notes de sorte que leur moyenne soit exactement dix.Est-ce toujours possible?Et sur un ensemble de dix-sept notes?
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